Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de variáveis separáveis: . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de variáveis separáveis, o que significa que podemos reorganizar a equação para que todas as fiquem de um lado e todas as do outro lado. Para isso, precisaremos manipular a equação para isolar e .
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever como :
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Passo 4
Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. Isso significa que precisamos encontrar a antiderivada de cada lado:
No lado esquerdo, podemos simplificar a fração:
É mais fácil integrar se mantivermos as variáveis separadas, então ajustamos a equação:
A integral pode ser resolvida usando frações parciais:
Resolvendo, encontramos e , então:
Portanto, a equação integrada fica:
Passo 5
Simplificando e resolvendo para , obtém-se a solução geral da equação diferencial: