Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de variáveis separáveis: . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de variáveis separáveis, o que significa que podemos reorganizar a equação para que todas as fiquem de um lado e todas as do outro lado. Para isso, precisaremos manipular a equação para isolar e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever como :

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :

Passo 4

Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. Isso significa que precisamos encontrar a antiderivada de cada lado:
No lado esquerdo, podemos simplificar a fração:
É mais fácil integrar se mantivermos as variáveis separadas, então ajustamos a equação:
A integral pode ser resolvida usando frações parciais:
Resolvendo, encontramos e , então:
Portanto, a equação integrada fica:

Passo 5

Simplificando e resolvendo para , obtém-se a solução geral da equação diferencial:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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