Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a equação diferencial linear de primeira ordem que é:
Isso significa que vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Para isso, dividimos toda a equação original por
(lembrando que
):
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante
, que é dado por:
Então, o fator integrante é
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante:
Note que essa é igual à equação original. Isso acontece porque já tínhamos dividido por
para chegar à forma padrão. Com o fator integrante, podemos reescrever o lado esquerdo da equação como a derivada de um produto:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Para resolver a integral
, usamos a técnica de integração por partes. Vamos escolher:
Aplicando a fórmula de integração por partes (
):
Simplificando:
Então, substituindo de volta:
Passo 6
Para encontrar
, dividimos tudo por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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