Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
x * y' + y = 3 * x * cos(2 * x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a equação diferencial linear de primeira ordem que é:
Isso significa que vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Para isso, dividimos toda a equação original por x (lembrando que x != 0):
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante mu(x), que é dado por:
Então, o fator integrante é .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante:
Note que essa é igual à equação original. Isso acontece porque já tínhamos dividido por x para chegar à forma padrão. Com o fator integrante, podemos reescrever o lado esquerdo da equação como a derivada de um produto:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
Isso nos dá:
Para resolver a integral , usamos a técnica de integração por partes. Vamos escolher:
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):
Simplificando:
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Para encontrar y, dividimos tudo por x:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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