Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação de Bernoulli para resolver:
Isso está na matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente nas Equações de Bernoulli. Vamos precisar entender como identificar esse tipo de equação e aplicar a substituição certa para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la no formato padrão das equações de Bernoulli, que é:
Começamos dividindo ambos os lados da equação original por
:
Isso simplifica para:
Agora, podemos reescrever isso como:
Assim, identificamos que:
Passo 3
Como essa é uma equação de Bernoulli com
, vamos usar a substituição
.
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
da equação original na expressão de
:
Simplificando:
Passo 5
Lembrando que
, substituímos na equação:
Rearranjando:
Passo 6
Agora, temos uma equação linear em
. Para resolvê-la, encontramos o fator integrante
:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Resolvendo para
:
Lembrando que
, temos:
Passo 10
Invertendo para achar
:
Podemos simplificar colocando um denominador comum:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é a constante de integração.
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Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
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