Resolva as seguintes equações de Bernoulli:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação de Bernoulli para resolver:
Isso está na matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente nas Equações de Bernoulli. Vamos precisar entender como identificar esse tipo de equação e aplicar a substituição certa para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la no formato padrão das equações de Bernoulli, que é:
Começamos dividindo ambos os lados da equação original por :
Isso simplifica para:
Agora, podemos reescrever isso como:
Assim, identificamos que:

Passo 3

Como essa é uma equação de Bernoulli com , vamos usar a substituição .
Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 4

Substituindo da equação original na expressão de :
Simplificando:

Passo 5

Lembrando que , substituímos na equação:
Rearranjando:

Passo 6

Agora, temos uma equação linear em . Para resolvê-la, encontramos o fator integrante :

Passo 7

Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Resolvendo para :
Lembrando que , temos:

Passo 10

Invertendo para achar :
Podemos simplificar colocando um denominador comum:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é a constante de integração.

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Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
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