Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A equação que temos é
e a condição inicial é
. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica comum em equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, identificamos a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
. Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é
. Calculando a integral:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Que resulta em:
Passo 7
Resolvendo para
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Substituímos o valor de
na solução geral:
Fatorando
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial é: