Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y' + 2y = x e^(-2x), y(1) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A equação que temos é e a condição inicial é . Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica comum em equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem: . Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é . Calculando a integral:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Que resulta em:

Passo 7

Resolvendo para :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Substituímos o valor de na solução geral:
Fatorando :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial é:

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