Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é uma das primeiras que a gente encontra quando começa a estudar cálculo. A equação que temos é uma equação homogênea de primeira ordem:
Pra resolver isso, vamos precisar usar a substituição que simplifica a equação homogênea, geralmente colocando . Isso vai ajudar a transformar a equação em algo que a gente consiga resolver mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição . Isso significa que . Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a para encontrar :
Substituímos isso na equação original:

Passo 3

Agora, temos a equação:
Vamos isolar :
Então:

Passo 4

Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
Vamos simplificar o lado esquerdo. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, temos:

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados. Para o lado esquerdo, podemos decompor a fração:
Resolvendo, encontramos que e . Então:
Integrando:

Passo 6

Agora, vamos substituir de volta na equação:
Simplificando:
Podemos deixar a resposta nessa forma implícita ou resolver para explicitamente, mas geralmente deixamos assim porque fica mais simples.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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