Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é homogênea. O enunciado que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação homogênea de primeira ordem, o que significa que podemos usar uma substituição para simplificar. Para resolver, vamos precisar usar substituições e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a substituição. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Agora, vamos fazer uma substituição comum para equações homogêneas. Deixamos:
Isso implica que:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
usando a regra do produto:
Substituímos
e
na equação original:
Passo 4
Percebemos que os termos
se cancelam:
Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados:
Simplificando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos isolar
:
Podemos redefinir a constante para simplificar:
Passo 7
Agora, substituímos
de volta:
Para isolar
, tomamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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