Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é homogênea. O enunciado que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação homogênea de primeira ordem, o que significa que podemos usar uma substituição para simplificar. Para resolver, vamos precisar usar substituições e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a substituição. Dividindo ambos os lados por , temos:
Agora, vamos fazer uma substituição comum para equações homogêneas. Deixamos:
Isso implica que:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a usando a regra do produto:
Substituímos e na equação original:

Passo 4

Percebemos que os termos se cancelam:
Agora, vamos separar as variáveis para integrar:

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados:
Simplificando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos isolar :
Podemos redefinir a constante para simplificar:

Passo 7

Agora, substituímos de volta:
Para isolar , tomamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo: