Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial de primeira ordem que é homogênea. Isso significa que a equação pode ser manipulada para depender apenas da razão entre
e
. Para resolver, vamos precisar usar a substituição
e seguir os passos para separar as variáveis e integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação dada:
Percebemos que todos os termos no numerador são de grau 2, e o denominador também é
. Isso confirma que a equação é homogênea, ou seja, podemos expressá-la em termos de
.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
. Isso implica que
. Agora, precisamos encontrar
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Aqui, usamos a regra do produto na derivação.
Passo 4
Substituindo
e
na equação original:
Agora, simplificamos a equação:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 5
Agora, temos uma equação separável:
Vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo é
e a do lado direito é
, onde
é a constante de integração:
Passo 6
Voltando para a variável original
:
Podemos deixar a resposta assim ou isolar
, dependendo do que for solicitado. Geralmente, essa forma já é suficiente para representar a solução geral da equação.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante qualquer.
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