Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver uma equação diferencial de primeira ordem que é homogênea. Isso significa que a equação pode ser manipulada para depender apenas da razão entre e . Para resolver, vamos precisar usar a substituição e seguir os passos para separar as variáveis e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação dada:
Percebemos que todos os termos no numerador são de grau 2, e o denominador também é . Isso confirma que a equação é homogênea, ou seja, podemos expressá-la em termos de .

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Isso implica que . Agora, precisamos encontrar . Derivando ambos os lados em relação a :
Aqui, usamos a regra do produto na derivação.

Passo 4

Substituindo e na equação original:
Agora, simplificamos a equação:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 5

Agora, temos uma equação separável:
Vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo é e a do lado direito é , onde é a constante de integração:

Passo 6

Voltando para a variável original :
Podemos deixar a resposta assim ou isolar , dependendo do que for solicitado. Geralmente, essa forma já é suficiente para representar a solução geral da equação.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante qualquer.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo: