Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Isso significa que queremos encontrar a função
que satisfaz essa equação. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método do fator integrante. Então, bora passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão das equações lineares de primeira ordem:
No nosso caso, para ajustar à forma padrão, precisamos identificar
e
. Observando a equação original:
Podemos ver que:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante
. O fator integrante é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Em seguida, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso acontece porque:
E como
, temos:
Que é exatamente o que obtivemos no Passo 4.
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
, e a integral do lado direito é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Então, juntando tudo, temos:
Agora, para isolarmos
, multiplicamos ambos os lados por
:
Resposta
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