Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Isso significa que queremos encontrar a função que satisfaz essa equação. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método do fator integrante. Então, bora passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão das equações lineares de primeira ordem:
No nosso caso, para ajustar à forma padrão, precisamos identificar e . Observando a equação original:
Podemos ver que:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante . O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Em seguida, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:
Isso acontece porque:
E como , temos:
Que é exatamente o que obtivemos no Passo 4.

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente , e a integral do lado direito é:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Então, juntando tudo, temos:
Agora, para isolarmos , multiplicamos ambos os lados por :

Resposta

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