Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa resolver uma equação de Bernoulli que é assim:
Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais de primeira ordem, especialmente a técnica para resolver equações de Bernoulli. Então, vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar essa equação pra deixar ela num formato mais amigável. Nosso objetivo é chegar na forma padrão da equação de Bernoulli, que é:
Vamos começar isolando
. Dividimos todos os termos por
:
Agora, comparando com a forma padrão, temos:
Passo 3
A equação de Bernoulli é um pouco complicada por causa do
, mas tem uma manha de simplificar. Vamos fazer uma substituição para transformar essa equação não linear em uma linear.
Definimos uma nova variável
tal que:
Agora, vamos achar a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
na nossa equação original, vamos reescrever tudo em termos de
:
A equação original reescrita é:
Multiplicando ambos os lados por
:
Lembrando que
, temos:
Agora, essa é uma equação linear em
!
Passo 5
Vamos resolver essa equação linear para
. A equação é:
Para resolver, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados para encontrar
:
Isso resulta em:
Simplificando:
Dividindo por
:
Passo 7
Lembrando que
, vamos substituir de volta para achar
:
Tomando o inverso dos dois lados:
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por
:
Então, simplificando mais:
Resposta
A solução geral da equação de Bernoulli é:
Onde
é a constante de integração.