Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
y - 2 x y = x y^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa resolver uma equação de Bernoulli que é assim:
Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais de primeira ordem, especialmente a técnica para resolver equações de Bernoulli. Então, vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar essa equação pra deixar ela num formato mais amigável. Nosso objetivo é chegar na forma padrão da equação de Bernoulli, que é:
Vamos começar isolando . Dividimos todos os termos por :
Agora, comparando com a forma padrão, temos:

Passo 3

A equação de Bernoulli é um pouco complicada por causa do y^2, mas tem uma manha de simplificar. Vamos fazer uma substituição para transformar essa equação não linear em uma linear.
Definimos uma nova variável v tal que:
Agora, vamos achar a derivada de v em relação a x:

Passo 4

Substituindo na nossa equação original, vamos reescrever tudo em termos de v:
A equação original reescrita é:
Multiplicando ambos os lados por :
Lembrando que , temos:
Agora, essa é uma equação linear em v!

Passo 5

Vamos resolver essa equação linear para v. A equação é:
Para resolver, usamos o fator integrante. O fator integrante mu(x) é dado por:
Multiplicamos toda a equação por mu(x):
Simplificando:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados para encontrar v:
Isso resulta em:
Simplificando:
Dividindo por :

Passo 7

Lembrando que , vamos substituir de volta para achar y:
Tomando o inverso dos dois lados:
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador por :
Então, simplificando mais:

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli é:
Onde C é a constante de integração.

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