Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
xy' = y + raiz(x^2 + y^2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial homogênea de primeira ordem:

Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais homogêneas e fazer algumas substituições para resolver.

Passo 2

Vamos começar rearranjando a equação para isolar y'. Dividimos ambos os lados por x:

Passo 3

Observamos que a equação é homogênea, o que significa que podemos fazer a substituição , onde v é uma função de x. Então, a derivada y' será:

Passo 4

Substituímos y e y' na equação original:

Simplificando o lado direito:

Passo 5

Subtraímos v de ambos os lados para simplificar:

Agora, isolamos :

Passo 6

Essa é uma equação separável. Vamos separar as variáveis v e x:

Passo 7

Integramos ambos os lados:

As integrais resultam em:
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Resolvemos para v:

Lembrando que , então:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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