Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial homogênea de primeira ordem:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais homogêneas e fazer algumas substituições para resolver.
Passo 2
Vamos começar rearranjando a equação para isolar
. Dividimos ambos os lados por
:
Passo 3
Observamos que a equação é homogênea, o que significa que podemos fazer a substituição
, onde
é uma função de
. Então, a derivada
será:
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Subtraímos
de ambos os lados para simplificar:
Agora, isolamos
Passo 6
Essa é uma equação separável. Vamos separar as variáveis
e
:
Passo 7
Integramos ambos os lados:
As integrais resultam em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Resolvemos para
:
Lembrando que
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
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