Resolva as seguintes equações de Bernoulli:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial chamada Equação de Bernoulli:
Nossa missão é resolver essa equação. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação de Bernoulli e lembrar umas técnicas de resolução envolvendo substituições que facilitam a gente resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão da Equação de Bernoulli. A forma geral é:
Vamos manipular a nossa equação para encaixar nesse formato. Dividindo ambos os lados por , temos:
Distribuindo o 2y:
Reorganizando para ter todos os termos com y no lado esquerdo:
Agora, comparando com o padrão, identificamos:

Passo 3

A Equação de Bernoulli tem uma técnica especial para resolver que envolve uma substituição para transformar a equa��ão não linear em uma equação linear. A substituição que usamos é:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Com essa substituição, precisamos encontrar . Diferenciando ambos os lados:
Agora, substituímos da nossa equação original na expressão de :
Simplificando:
Mas sabemos que , então:
Agora temos uma equação linear em termos de z.

Passo 5

Para resolver essa equação linear, usamos um fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicando toda a equação por :
A esquerda agora é a derivada do produto :
Integrando ambos os lados:
Dividindo por :

Passo 6

Lembrando que , substituímos de volta:
Elevando ambos os lados à potência para resolver para y:
Podemos simplificar a expressão agrupando termos semelhantes:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem: