Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial chamada Equação de Bernoulli:
Nossa missão é resolver essa equação. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação de Bernoulli e lembrar umas técnicas de resolução envolvendo substituições que facilitam a gente resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão da Equação de Bernoulli. A forma geral é:
Vamos manipular a nossa equação para encaixar nesse formato. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Distribuindo o 2y:
Reorganizando para ter todos os termos com y no lado esquerdo:
Agora, comparando com o padrão, identificamos:
Passo 3
A Equação de Bernoulli tem uma técnica especial para resolver que envolve uma substituição para transformar a equa��ão não linear em uma equação linear. A substituição que usamos é:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Com essa substituição, precisamos encontrar
. Diferenciando ambos os lados:
Agora, substituímos
da nossa equação original na expressão de
:
Simplificando:
Mas sabemos que
, então:
Agora temos uma equação linear em termos de z.
Passo 5
Para resolver essa equação linear, usamos um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação por
:
A esquerda agora é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados:
Dividindo por
:
Passo 6
Lembrando que
, substituímos de volta:
Elevando ambos os lados à potência
para resolver para y:
Podemos simplificar a expressão agrupando termos semelhantes:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem: