Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
y' + y = x e^(-x) + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial linear de primeira ordem que a gente tem aqui:

A matéria que vamos usar é a das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, a gente vai precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação. Ela está na forma padrão:

Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante, mu(x), que é dado por:

Como , temos:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:

Simplificando o lado direito:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto do fator integrante com y:

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:

Isso resulta em:
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, resolvemos para y dividindo todos os termos por e^x:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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