Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
y' = (x + y) / x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem homogênea:
Vamos resolver essa equação usando métodos apropriados para equações homogêneas.

Passo 2

Como a equação é homogênea, podemos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir:
Isso significa que:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Usando a regra do produto:

Passo 4

Substituímos e na equação original:
Como , substituímos:

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 6

Isolamos :

Passo 7

Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 9

Multiplicamos ambos os lados por para isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante real.

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