Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem homogênea:
Vamos resolver essa equação usando métodos apropriados para equações homogêneas.
Passo 2
Como a equação é homogênea, podemos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Usando a regra do produto:
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Como
, substituímos:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 6
Isolamos
:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 9
Multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante real.