Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada:
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos utilizar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar soluções para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Para isso, dividimos ambos os lados da equação original por :
Aqui, identificamos:

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:
Calculando a integral de :
Fazendo a substituição , temos , então:
Portanto, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto do fator integrante pela função :

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:

Passo 7

Calculamos a integral do lado direito:
Então:

Passo 8

Isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem: