Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada:
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos utilizar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar soluções para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Para isso, dividimos ambos os lados da equação original por
:
Aqui, identificamos:
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral de
:
Fazendo a substituição
, temos
, então:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto do fator integrante pela função
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
Passo 7
Calculamos a integral do lado direito:
Então:
Passo 8
Isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
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Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
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