Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem que você trouxe:

Esse tipo de equação é chamada de homogênea de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar a substituição de variável e algumas técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos isolar :

Dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Agora, pra resolver essa equação, vamos usar a substituição . Isso significa que . Vamos derivar isso em relação a :

Passo 4

Substituindo e na equação original, temos:

Simplificando:

Passo 5

Cancelando de ambos os lados:

Então, isolamos :

Passo 6

Agora, vamos separar as variáveis para integrar:

A integral do lado esquerdo é e do lado direito é , onde é a constante de integração.

Passo 7

Então, temos:

Voltando à variável original :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

onde é uma constante arbitrária.

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