Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem que você trouxe:
Esse tipo de equação é chamada de homogênea de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar a substituição de variável e algumas técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
Passo 3
Agora, pra resolver essa equação, vamos usar a substituição
. Isso significa que
. Vamos derivar isso em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na equação original, temos:
Simplificando:
Passo 5
Cancelando
de ambos os lados:
Então, isolamos
Passo 6
Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
A integral do lado esquerdo é
Passo 7
Então, temos:
Voltando à variável original
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
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Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo: