Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, temos uma equação diferencial de primeira ordem que é homogênea:
. Nosso objetivo é resolver essa equação encontrando uma expressão para
em função de
. Para isso, vamos precisar usar a técnica de substituição própria para equações homogêneas.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que a equação é realmente homogênea. Uma equação é homogênea se, ao substituir
por
e
por
, a equação resultante puder ser fatorada por uma potência de
. Vamos testar isso:
Como o fator
desaparece, a equação é homogênea de grau 0.
Passo 3
Como a equação é homogênea, podemos usar a substituição
. Isso significa que
. Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 4
Vamos substituir
e
na equação original:
Passo 5
Agora, vamos isolar
:
Passo 6
Temos agora uma equação diferencial separável:
Vamos separar as variáveis:
Passo 7
Vamos integrar ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Para resolver para
, vamos eliminar os logaritmos aplicando a exponenciação:
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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