Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:

Passo 1

Beleza, temos uma equação diferencial de primeira ordem que é homogênea: . Nosso objetivo é resolver essa equação encontrando uma expressão para em função de . Para isso, vamos precisar usar a técnica de substituição própria para equações homogêneas.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que a equação é realmente homogênea. Uma equação é homogênea se, ao substituir por e por , a equação resultante puder ser fatorada por uma potência de . Vamos testar isso:
Como o fator desaparece, a equação é homogênea de grau 0.

Passo 3

Como a equação é homogênea, podemos usar a substituição . Isso significa que . Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 4

Vamos substituir e na equação original:

Passo 5

Agora, vamos isolar :

Passo 6

Temos agora uma equação diferencial separável:
Vamos separar as variáveis:

Passo 7

Vamos integrar ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Para resolver para , vamos eliminar os logaritmos aplicando a exponenciação:

Passo 9

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
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