Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que você mandou. A equação é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial homogênea de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, a gente precisa usar algumas técnicas de substituição e manipulação algébrica. Vamos precisar entender como isolar
e aplicar substituições para simplificar a equação e chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
na equação. Começamos adicionando
aos dois lados:
Agora, dividimos ambos os lados por
para ficar com
sozinho:
Passo 3
Observamos que essa equação é não linear por causa do termo
. Para resolver, vamos usar uma substituição inteligente. Vamos definir uma nova função
tal que:
Isso significa que
. Agora, precisamos encontrar
em termos de
e
. Usando a regra do produto:
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Agora, vamos rearranjar para isolar
:
Passo 5
Agora temos uma equação diferencial para
:
Essa equação é separável, o que significa que podemos escrever todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Vamos fazer isso:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo requer completar o quadrado ou usar uma substituição. Observando o denominador:
Então, a integral fica:
A integral de
em relação a
é:
E a integral de
em relação a
é:
Então, temos:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Onde
é uma nova constante. Podemos reescrever isso como:
Então:
Passo 8
Lembrando que fizemos a substituição
, vamos voltar para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Podemos simplificar a constante
para apenas
, então a solução geral fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
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