Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que você mandou. A equação é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial homogênea de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, a gente precisa usar algumas técnicas de substituição e manipulação algébrica. Vamos precisar entender como isolar e aplicar substituições para simplificar a equação e chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar na equação. Começamos adicionando aos dois lados:
Agora, dividimos ambos os lados por para ficar com sozinho:

Passo 3

Observamos que essa equação é não linear por causa do termo . Para resolver, vamos usar uma substituição inteligente. Vamos definir uma nova função tal que:
Isso significa que . Agora, precisamos encontrar em termos de e . Usando a regra do produto:

Passo 4

Substituímos e na equação original:
Agora, vamos rearranjar para isolar :

Passo 5

Agora temos uma equação diferencial para :
Essa equação é separável, o que significa que podemos escrever todos os termos com de um lado e os termos com do outro. Vamos fazer isso:

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo requer completar o quadrado ou usar uma substituição. Observando o denominador:
Então, a integral fica:
A integral de em relação a é:
E a integral de em relação a é:
Então, temos:

Passo 7

Agora, vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :
Onde é uma nova constante. Podemos reescrever isso como:
Então:

Passo 8

Lembrando que fizemos a substituição , vamos voltar para :
Multiplicando ambos os lados por :
Podemos simplificar a constante para apenas , então a solução geral fica:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
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