Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos resolver a equação diferencial de variáveis separáveis
. O conteúdo envolvido aqui é o de equações diferenciais, especificamente as de primeira ordem de variáveis separáveis. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica de separação de variáveis e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos a equação diferencial para separar as variáveis
e
:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
é
, e a integral de
pode ser resolvida por partes:
Integrando:
Passo 4
Por fim, solucionamos para
isolando a variável:
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos e exponenciais:
Como
é uma constante, podemos simplesmente chamá-la de
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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