Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos resolver a equação diferencial de variáveis separáveis . O conteúdo envolvido aqui é o de equações diferenciais, especificamente as de primeira ordem de variáveis separáveis. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica de separação de variáveis e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a equação diferencial para separar as variáveis e :
Dividindo ambos os lados por , temos:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de é , e a integral de pode ser resolvida por partes:
Integrando:

Passo 4

Por fim, solucionamos para isolando a variável:
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos e exponenciais:
Como é uma constante, podemos simplesmente chamá-la de :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo: