Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a equação diferencial . Essa é uma equação de variáveis separáveis, ou seja, conseguimos separar os termos que envolvem dos que envolvem . Para isso, vamos precisar usar integração e um pouquinho de álgebra. Bora resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que a gente possa separar as variáveis e . A equação dada é:
Vamos dividir ambos os lados por para isolar de um lado e do outro:
Passo 3
Agora, precisamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral. Mas antes disso, vamos simplificar a fração do lado esquerdo usando frações parciais. Ou seja, vamos decompor em duas frações mais simples:
Para encontrar os valores de e , vamos multiplicar ambos os lados por :
Vamos escolher valores de que simplificam a equação:
Se :
Se :
Então, a decomposição fica:
Passo 4
Agora, substituímos essa fração de volta na equação que vamos integrar:
Vamos integrar os dois lados:
Passo 5
Integrando termo a termo:
Integral de :
Fazendo a substituição , então , temos:
Integral de :
Similarmente, seja , :
Então, a integral completa fica:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Podemos chamar de uma nova constante, já que qualquer constante multiplicativa dentro do logaritmo pode ser absorvida:
Passo 7
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Onde é uma constante arbitrária.
Passo 8
Agora, resolvemos para :
Para simplificar, podemos absorver o sinal na constante , já que é arbitrária. Então:
Vamos multiplicar ambos os lados por :
Distribuindo :
Vamos isolar os termos com :
Fatorando :
Finalmente, resolvendo para :
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária que pode ser determinada por uma condição inicial, se fornecida.