Resolva os seguintes problemas de valor inicial:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de primeira ordem. A matéria que vamos usar aqui é a de equações diferenciais lineares e o método do fator integrante. Vamos precisar reorganizar a equação e aplicar algumas integrações.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação diferencial num formato mais amigável. A equação dada é:
Vamos dividir todos os termos por para isolar :

Passo 3

Agora, identificamos que essa é uma equação linear da forma , onde:
Para resolver, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :

Passo 5

Observe que a parte esquerda da equação agora é a derivada do produto :
Agora, integramos ambos os lados em relação a :

Passo 6

Vamos resolver a integral usando integração por partes. Seja e . Então, e . Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo de volta na equação principal:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor da constante :
Sabemos que e , então:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :
Portanto:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
Use a regra da cadeia para achar .
a)
,
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Resolva os seguintes problemas de valor inicial: