Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de primeira ordem. A matéria que vamos usar aqui é a de equações diferenciais lineares e o método do fator integrante. Vamos precisar reorganizar a equação e aplicar algumas integrações.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação diferencial num formato mais amigável. A equação dada é:
Vamos dividir todos os termos por
para isolar
:
Passo 3
Agora, identificamos que essa é uma equação linear da forma
, onde:
Para resolver, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Passo 5
Observe que a parte esquerda da equação agora é a derivada do produto
:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Vamos resolver a integral
usando integração por partes. Seja
e
. Então,
e
. Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo de volta na equação principal:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor da constante
:
Sabemos que
e
, então:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Portanto:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Exercícios relacionados
Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
Use a regra da cadeia para achar
.
a)
,
a)
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Resolva os seguintes problemas de valor inicial: