Determine as soluçōes dos exercícios (a), (b) e (d) que passam pelo ponto
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais que pede para encontrar as soluções que passam pelo ponto
. O que temos aqui é uma equação diferencial onde precisamos achar uma função que satisfaça a igualdade dada. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais exatas e, possivelmente, encontrar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro quais são as funções que multiplicam
e
. A equação dada é:
Podemos reorganizar isso para ficar no formato padrão de uma equação diferencial exata:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, precisamos calcular:
Calculando
:
Calculando
:
Vemos que:
Como são iguais, a equação diferencial é exata!
Passo 4
Como a equação é exata, sabemos que existe uma função potencial
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que surge da constante de integração.
Passo 5
Para encontrar
, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Simplificando:
Cancelando termos semelhantes:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante.
Passo 6
Agora, temos a função potencial completa:
Como
, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Passo 7
Agora, vamos usar o ponto
para encontrar a constante
. Substituindo
e
na equação:
Simplificando:
Então,
.
Resposta
A solução da equação diferencial que passa pelo ponto
é: