Determine as soluçōes dos exercícios (a), (b) e (d) que passam pelo ponto 1,1:
(x * e^(y) + y - x^2) * dy = (2 * x * y - e^(y) - x) * dx

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais que pede para encontrar as soluções que passam pelo ponto . O que temos aqui é uma equação diferencial onde precisamos achar uma função que satisfaça a igualdade dada. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais exatas e, possivelmente, encontrar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro quais são as funções que multiplicam e . A equação dada é:
Podemos reorganizar isso para ficar no formato padrão de uma equação diferencial exata:
Onde:

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja, precisamos calcular:
Calculando :
Calculando :
Vemos que:
Como são iguais, a equação diferencial é exata!

Passo 4

Como a equação é exata, sabemos que existe uma função potencial tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Aqui, é uma função de que surge da constante de integração.

Passo 5

Para encontrar , vamos derivar em relação a e igualar a :
Simplificando:
Cancelando termos semelhantes:
Integrando em relação a :
Onde é uma constante.

Passo 6

Agora, temos a função potencial completa:
Como , podemos escrever a solução geral da equação diferencial:

Passo 7

Agora, vamos usar o ponto para encontrar a constante . Substituindo e na equação:
Simplificando:
Então, .

Resposta

A solução da equação diferencial que passa pelo ponto é:

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