Determine as soluçōes dos exercícios (a), (b) e (d) que passam pelo ponto
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que precisa encontrar soluções que passam pelo ponto (1,1). A equação é:
Para resolver isso, vamos usar o método das equações diferenciais exatas. Isso significa que a gente vai verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que ajude a torná-la exata.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação:
Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Passo 4
Agora, comparamos as duas derivadas:
Vemos que
, então a equação não é exata.
Passo 5
Quando a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que vai multiplicar toda a equação e torná-la exata. Vamos tentar um fator integrante que depende de
apenas.
Supomos que o fator integrante seja
. A condição para a equação ser exata após multiplicar por
é:
Após simplificar, descobrimos que um fator integrante adequado é
.
Passo 6
Multiplicamos toda a equação original por
:
Simplificando:
Agora, a equação é exata.
Passo 7
Vamos reescrever as novas funções
e
:
Agora, buscamos uma função
tal que:
Passo 8
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função somente de
.
Passo 9
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Simplificando:
Isolando
:
Note que para que
dependa apenas de
, os termos com
devem se cancelar, o que não ocorre aqui. Isso significa que houve um erro na suposição. Portanto, precisamos reconsiderar o fator integrante ou tentar outro método.
Passo 10
Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa de
. Suponhamos que
seja o fator.
Após alguns cálculos, descobrimos que não há um fator integrante simples que depende apenas de
. Então, podemos concluir que a equação pode não ter soluções expressas de forma simples ou pode exigir métodos mais avançados.
Resposta
A equação diferencial fornecida não possui soluções simples que passam pelo ponto (1,1) usando métodos básicos de equações exatas e fatores integrantes. É necessário aplicar técnicas mais avançadas ou verificar se há alguma condição adicional nos itens (a), (b) e (d) para encontrar soluções específicas.