Determine as soluçōes dos exercícios (a), (b) e (d) que passam pelo ponto 1,1:
y(x^2 + y^2) dx + x(3x^2 - 5y^2) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que precisa encontrar soluções que passam pelo ponto (1,1). A equação é:
Para resolver isso, vamos usar o método das equações diferenciais exatas. Isso significa que a gente vai verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que ajude a torná-la exata.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação:
Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular essas derivadas parciais:

Passo 4

Agora, comparamos as duas derivadas:
Vemos que , então a equação não é exata.

Passo 5

Quando a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que vai multiplicar toda a equação e torná-la exata. Vamos tentar um fator integrante que depende de apenas.
Supomos que o fator integrante seja . A condição para a equação ser exata após multiplicar por é:
Após simplificar, descobrimos que um fator integrante adequado é .

Passo 6

Multiplicamos toda a equação original por :
Simplificando:
Agora, a equação é exata.

Passo 7

Vamos reescrever as novas funções e :
Agora, buscamos uma função tal que:

Passo 8

Integrando em relação a :
Aqui, é uma função somente de .

Passo 9

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Simplificando:
Isolando :
Note que para que dependa apenas de , os termos com devem se cancelar, o que não ocorre aqui. Isso significa que houve um erro na suposição. Portanto, precisamos reconsiderar o fator integrante ou tentar outro método.

Passo 10

Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa de . Suponhamos que seja o fator.
Após alguns cálculos, descobrimos que não há um fator integrante simples que depende apenas de . Então, podemos concluir que a equação pode não ter soluções expressas de forma simples ou pode exigir métodos mais avançados.

Resposta

A equação diferencial fornecida não possui soluções simples que passam pelo ponto (1,1) usando métodos básicos de equações exatas e fatores integrantes. É necessário aplicar técnicas mais avançadas ou verificar se há alguma condição adicional nos itens (a), (b) e (d) para encontrar soluções específicas.

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