Verifique se as equações abaixo são exatas e, em caso positivo, resolva-as.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para verificar se a equação diferencial
é exata. Se for exata, a gente também precisa resolver ela. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais exatas e verificar as condições necessárias para que uma equação seja exata.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação diferencial:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se as derivadas parciais cruzadas satisfazem a condição:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Agora, calculando
:
Passo 6
Comparando as duas derivadas:
Percebe que são iguais!
Passo 7
Como
, a equação é exata. Agora, vamos resolver a equação encontrando uma função potencial
tal que:
Passo 8
Primeiro, integramos
em relação a
:
Vamos separar as integrais:
Passo 9
Resolvendo cada integral:
- Para
, fazemos , então :
Portanto:
- Para
:
- Para
:
Passo 10
Juntando tudo:
Onde
é uma função de
que aparece na integração.
Passo 11
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante.
Passo 12
Portanto, a função potencial é:
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante.
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:
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e
. Estude continuidade em
conforme dados abaixo. Esboce o gráfico da momento fletor da viga.
Figura 1: Questão 07