Verifique se as equações abaixo são exatas e, em caso positivo, resolva-as.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para verificar se a equação diferencial é exata. Se for exata, a gente também precisa resolver ela. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais exatas e verificar as condições necessárias para que uma equação seja exata.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação diferencial:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se as derivadas parciais cruzadas satisfazem a condição:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 4

Calculando :

Passo 5

Agora, calculando :

Passo 6

Comparando as duas derivadas:
Percebe que são iguais!

Passo 7

Como , a equação é exata. Agora, vamos resolver a equação encontrando uma função potencial tal que:

Passo 8

Primeiro, integramos em relação a :
Vamos separar as integrais:

Passo 9

Resolvendo cada integral:
  1. Para , fazemos , então :
Portanto:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 10

Juntando tudo:
Onde é uma função de que aparece na integração.

Passo 11

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante.

Passo 12

Portanto, a função potencial é:

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante.

Exercícios relacionados

Determine as trajetórias ortogonais às famílias abaixo, sendo :
Verifique se as funções são homogêneas e, caso afirmativo, determine o grau:
Determine as soluções gerais das equações:
Para o cálculo de uma viga o engenheiro precisa do valor dpo momento fletor. Na viga abaixo tem-se e . Estude continuidade em conforme dados abaixo. Esboce o gráfico da momento fletor da viga.
Figura 1: Questão 07