Determine as trajetórias ortogonais às famílias abaixo, sendo :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar as trajetórias ortogonais à família de curvas dada por , onde é um número real. Isso envolve o estudo de trajectórias ortogonais dentro do contexto de equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a derivada da função original e depois usar essa informação para determinar as curvas que se cruzam perpendicularmente a elas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que trajetórias ortogonais são curvas que se cruzam formando um ângulo de 90 graus com as curvas da família inicial. Para encontrá-las, precisamos derivar a equação da família de curvas para obter a inclinação (derivada) de cada curva em termos de e .

Passo 3

Vamos começar diferenciando a função em relação a . Usando a regra da cadeia, temos:

Passo 4

Agora, para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos das inclinações das curvas que são recíprocas negativas das inclinações das curvas originais. Portanto, a derivada das trajetórias ortogonais será:

Passo 5

No entanto, queremos eliminar o parâmetro para encontrar uma relação direta entre e . Sabemos que , então podemos resolver para :

Passo 6

Substituindo na expressão da derivada das trajetórias ortogonais, temos:

Passo 7

Agora, temos uma equação diferencial separável:
Vamos separar as variáveis e :

Passo 8

Reorganizando para integrar:
Integrando ambos os lados:
Como e são em termos de suas próprias variáveis, precisamos reorganizar para separar:
No entanto, essa forma ainda é complicada para integrar diretamente. Vamos tentar uma substituição diferente.

Passo 9

Retornando à equação separável:
Podemos reescrever como:
Agora, as variáveis estão separadas e podemos integrar ambos os lados:

Passo 10

Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 11

Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
Onde também é uma constante.

Passo 12

Podemos reescrever a equação de forma mais elegante:

Passo 13

Finalmente, isolando :

Resposta

As trajetórias ortogonais à família dada são definidas por
onde é uma constante real.

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