Determine as trajetórias ortogonais às famílias abaixo, sendo
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar as trajetórias ortogonais à família de curvas dada por
, onde
é um número real. Isso envolve o estudo de trajectórias ortogonais dentro do contexto de equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a derivada da função original e depois usar essa informação para determinar as curvas que se cruzam perpendicularmente a elas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que trajetórias ortogonais são curvas que se cruzam formando um ângulo de 90 graus com as curvas da família inicial. Para encontrá-las, precisamos derivar a equação da família de curvas para obter a inclinação (derivada) de cada curva em termos de
e
.
Passo 3
Vamos começar diferenciando a função
em relação a
. Usando a regra da cadeia, temos:
Passo 4
Agora, para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos das inclinações das curvas que são recíprocas negativas das inclinações das curvas originais. Portanto, a derivada das trajetórias ortogonais será:
Passo 5
No entanto, queremos eliminar o parâmetro
para encontrar uma relação direta entre
e
. Sabemos que
, então podemos resolver para
:
Passo 6
Substituindo
na expressão da derivada das trajetórias ortogonais, temos:
Passo 7
Agora, temos uma equação diferencial separável:
Vamos separar as variáveis
e
:
Passo 8
Reorganizando para integrar:
Integrando ambos os lados:
Como
e
são em termos de suas próprias variáveis, precisamos reorganizar para separar:
No entanto, essa forma ainda é complicada para integrar diretamente. Vamos tentar uma substituição diferente.
Passo 9
Retornando à equação separável:
Podemos reescrever como:
Agora, as variáveis estão separadas e podemos integrar ambos os lados:
Passo 10
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 11
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
Onde
também é uma constante.
Passo 12
Podemos reescrever a equação de forma mais elegante:
Passo 13
Finalmente, isolando
:
Resposta
As trajetórias ortogonais à família dada são definidas por
onde
é uma constante real.
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