Determine as soluções gerais das equações: (x+y) dx + (x-y) dy = 0, y(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que é do tipo com a condição inicial . Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais, mais especificamente sobre equações diferenciais exatas. A gente vai precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando e na equação. Ou seja, temos:
Para saber se a equação é exata, a gente verifica se . Se isso for verdadeiro, a equação é exata.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial tal que:

Passo 4

Agora, vamos encontrar essa função . Para isso, integramos M em relação a x:
Aqui, é uma função de y que aparece por conta da integração.

Passo 5

Para encontrar , derivamos em relação a y e igualamos a N:
Resolvendo para :
Integrando novamente:
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo na expressão de :
Como a equação iguala a Zero, podemos escrever:

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial para encontrar C:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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