Determine as soluções gerais das equações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que é do tipo
com a condição inicial
. Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais, mais especificamente sobre equações diferenciais exatas. A gente vai precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando
e
na equação. Ou seja, temos:
Para saber se a equação é exata, a gente verifica se
. Se isso for verdadeiro, a equação é exata.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial
tal que:
Passo 4
Agora, vamos encontrar essa função
. Para isso, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece por conta da integração.
Passo 5
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Resolvendo para
:
Integrando novamente:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo
na expressão de
:
Como a equação iguala a Zero, podemos escrever:
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
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