Determine as trajetórias ortogonais às famílias abaixo, sendo
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por
, onde
é um número real.
Conteúdo da matéria: Trajetórias ortogonais são curvas que se cruzam perpendicularmente (formando um ângulo de 90 graus) em cada ponto onde se intersectam. Para encontrar essas trajetórias, precisamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e equações diferenciais.
O que vamos precisar:
- Entender o que são trajetórias ortogonais.
- Utilizar derivadas para encontrar as inclinações das curvas.
- Resolver equações diferenciais que surgirem no processo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da família de curvas
.
Passo 2.1: Diferenciamos ambos os lados da equação em relação a
:
Passo 2.2: Aplicando a regra da cadeia na derivada de
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a inclinação da tangente à curva em qualquer ponto, isto é,
:
Passo 4
Para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos que a inclinação da tangente a essas trajetórias seja o negativo do inverso da inclinação das tangentes da família original. Ou seja:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial para as trajetórias ortogonais:
Vamos resolver essa equação. Primeiro, rearranjamos os termos para separar as variáveis
e
:
Passo 6
Integramos ambos os lados da equação:
Resolvendo as integrais:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Para simplificar, podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados:
Como
é apenas uma constante positiva, podemos chamar de
:
Resposta
As trajetórias ortogonais à família de curvas
são dadas por:
onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Encontre as soluções das equações abaixo:
Encontre as soluções das equações abaixo, separando as variáveis:
Determine as trajetórias ortogonais às famílias abaixo, sendo
:
Determine as soluções gerais das equações: