Determine as trajetórias ortogonais às famílias abaixo, sendo b in R: xy = b

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos as trajetórias ortogonais à família de curvas dada por , onde é um número real. Isso está ligado ao cálculo diferencial, especificamente no estudo de trajetórias ortogonais entre famílias de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a família de curvas . Essa equação representa uma hipérbole, onde cada valor de gera uma hipérbole diferente.

Passo 3

Para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos achar as retas que cruzam essas hipérboles formando um ângulo de 90 graus (ortogonais). Isso envolve calcular a derivada da função original e usar a relação de ortogonalidade entre as derivadas.

Passo 4

Vamos derivar em relação a . Usando a regra do produto:
Isso simplifica para:

Passo 5

A inclinação das trajetórias ortogonais é o recíproco negativo da inclinação das curvas originais. Então, se para as hipérboles, para as ortogonais teremos:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação diferencial . Podemos reescrever isso como:
Integrando ambos os lados:
Multiplicando tudo por 2:

Passo 7

Essa é a equação geral das trajetórias ortogonais. Podemos reescrever de forma mais familiar:
Onde é uma constante qualquer.

Resposta

As trajetórias ortogonais à família são dadas por , onde é uma constante real.

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