Determine as trajetórias ortogonais às famílias abaixo, sendo
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos as trajetórias ortogonais à família de curvas dada por
, onde
é um número real. Isso está ligado ao cálculo diferencial, especificamente no estudo de trajetórias ortogonais entre famílias de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a família de curvas
. Essa equação representa uma hipérbole, onde cada valor de
gera uma hipérbole diferente.
Passo 3
Para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos achar as retas que cruzam essas hipérboles formando um ângulo de 90 graus (ortogonais). Isso envolve calcular a derivada da função original e usar a relação de ortogonalidade entre as derivadas.
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
. Usando a regra do produto:
Isso simplifica para:
Passo 5
A inclinação das trajetórias ortogonais é o recíproco negativo da inclinação das curvas originais. Então, se
para as hipérboles, para as ortogonais teremos:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação diferencial
. Podemos reescrever isso como:
Integrando ambos os lados:
Multiplicando tudo por 2:
Passo 7
Essa é a equação geral das trajetórias ortogonais. Podemos reescrever de forma mais familiar:
Onde
é uma constante qualquer.
Resposta
As trajetórias ortogonais à família
são dadas por
, onde
é uma constante real.