Encontre um fator de integração apropriado e resolva as E.D.O. abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial . Nosso objetivo é resolver essa equação encontrando um fator de integração apropriado. Isso faz parte do estudo das equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação. Ela está no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui, e .

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos encontrar um fator de integração. Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação numa forma que facilita a resolução. A fórmula para o fator de integração é:
Substituindo :

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator de integração que encontramos:
Isso simplifica a equação para uma forma que podemos integrar facilmente.

Passo 5

A expressão da esquerda agora é a derivada do produto do fator de integração pela função . Ou seja:
Isso acontece porque o fator de integração foi escolhido exatamente para que essa identidade fosse válida.

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
Para o lado direito, fazemos uma substituição simples. Seja , então . Assim:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, juntamos tudo:
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Determine as soluções gerais das equações:
Determine as trajetórias ortogonais às famílias abaixo, sendo :
Encontre as soluções das equações abaixo, separando as variáveis:
Verifique se as funções são homogêneas e, caso afirmativo, determine o grau: