Encontre um fator de integração apropriado e resolva as E.D.O. abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
. Nosso objetivo é resolver essa equação encontrando um fator de integração apropriado. Isso faz parte do estudo das equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação. Ela está no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui,
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, precisamos encontrar um fator de integração. Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação numa forma que facilita a resolução. A fórmula para o fator de integração
é:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator de integração que encontramos:
Isso simplifica a equação para uma forma que podemos integrar facilmente.
Passo 5
A expressão da esquerda agora é a derivada do produto do fator de integração pela função
. Ou seja:
Isso acontece porque o fator de integração foi escolhido exatamente para que essa identidade fosse válida.
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Para o lado direito, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
. Assim:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, juntamos tudo:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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Determine as soluções gerais das equações:
Determine as trajetórias ortogonais às famílias abaixo, sendo
:
Encontre as soluções das equações abaixo, separando as variáveis:
Verifique se as funções são homogêneas e, caso afirmativo, determine o grau: