Encontre as soluções das equações abaixo, separando as variáveis:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A equação dada é uma equação diferencial que precisa ser resolvida separando as variáveis. Isso significa que vamos reorganizar a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e todos os termos com fiquem do outro lado. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como integração e separação de variáveis.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a equação dada:
Nosso objetivo é separar as variáveis e em lados diferentes da equação. Podemos mover o termo que envolve para o outro lado da equação:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e para lados opostos:
Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por para isolar os termos que envolvem de um lado e os que envolvem do outro:
Simplificando a expressão do lado direito:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo é mais simples:
A integral do lado esquerdo resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 5

A integral do lado direito, , não pode ser expressa em termos de funções elementares conhecidas. No entanto, sabemos que ela está relacionada à função de Fresnel, que é usada em várias áreas da física e engenharia.
Assim, podemos expressar a solução de forma implícita:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária e representa a função de Fresnel.

Exercícios relacionados

Encontre um fator de integração apropriado e resolva as E.D.O. abaixo:
Determine as soluções gerais das equações:
Verifique se as funções são homogêneas e, caso afirmativo, determine o grau:
Encontre as soluções das equações abaixo: