Encontre as soluções das equações abaixo, separando as variáveis:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A equação dada é uma equação diferencial que precisa ser resolvida separando as variáveis. Isso significa que vamos reorganizar a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e todos os termos com
fiquem do outro lado. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como integração e separação de variáveis.
Passo 2
Vamos começar reescrevendo a equação dada:
Nosso objetivo é separar as variáveis
e
em lados diferentes da equação. Podemos mover o termo que envolve
para o outro lado da equação:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
para lados opostos:
Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
para isolar os termos que envolvem
de um lado e os que envolvem
do outro:
Simplificando a expressão do lado direito:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo é mais simples:
A integral do lado esquerdo resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
A integral do lado direito,
, não pode ser expressa em termos de funções elementares conhecidas. No entanto, sabemos que ela está relacionada à função de Fresnel, que é usada em várias áreas da física e engenharia.
Assim, podemos expressar a solução de forma implícita:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária e
representa a função de Fresnel.
Exercícios relacionados
Encontre um fator de integração apropriado e resolva as E.D.O. abaixo:
Determine as soluções gerais das equações:
Verifique se as funções são homogêneas e, caso afirmativo, determine o grau:
Encontre as soluções das equações abaixo: