Determine as soluções gerais das equações:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as soluções gerais da equação diferencial . Isso envolve trabalhar com equações diferenciais, especificamente verificando se a equação é exata ou não, e aí aplicar métodos para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Ela está no formato , onde:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .
Calculando:
Como , a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial tal que:

Passo 4

Vamos encontrar a função . Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos a para encontrar :
Assim:
Integrando em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo na expressão de :

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante.

Exercícios relacionados

Resolva as equações abaixo:
Verifique se as funções são homogêneas e, caso afirmativo, determine o grau:
Resolva a E.D.O.
Indique a ordem das E.D.O. abaixo e verifique se as funções indicadas são soluções: