Determine as soluções gerais das equações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as soluções gerais da equação diferencial . Isso envolve trabalhar com equações diferenciais, especificamente verificando se a equação é exata ou não, e aí aplicar métodos para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Ela está no formato
, onde:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Calculando:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial
tal que:
Passo 4
Vamos encontrar a função
. Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Assim:
Integrando em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
A solução geral da equação é , onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Resolva as equações abaixo:
Verifique se as funções são homogêneas e, caso afirmativo, determine o grau:
Resolva a E.D.O.
Indique a ordem das E.D.O. abaixo e verifique se as funções indicadas são soluções: