Determine as soluções gerais das equações: y cos(x) dx + (sen(x) - sen(y)) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as soluções gerais da equação diferencial . Isso envolve trabalhar com equações diferenciais, especificamente verificando se a equação é exata ou não, e aí aplicar métodos para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Ela está no formato , onde:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de M em relação a y e de N em relação a x.
Calculando:
Como , a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial F(x, y) tal que:

Passo 4

Vamos encontrar a função F(x, y). Integrando M em relação a x:
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, derivamos F(x, y) em relação a y e igualamos a N para encontrar :
Assim:
Integrando em relação a :
onde y é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo na expressão de F(x, y):

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante.

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