Resolva as equações abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é:
Esse tipo de equação faz parte do estudo de equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos verificar se ela é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que nos ajude a torná-la exata.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação:
A equação fica então:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Quando a equação não é exata, podemos procurar um fator integrante que depende de
ou de
para torná-la exata. Vamos calcular a razão:
Esse resultado não é uma função apenas de
ou apenas de
, o que complica encontrar um fator integrante simples. Assim, adotaremos outra abordagem.
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para expressá-la na forma de uma equação diferencial linear em relação a
:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, isolando
:
Passo 6
Para simplificar, vamos tentar representar essa equação na forma padrão de uma equação linear:
Vamos manipular a equação para alcançar essa forma:
Multiplicando os termos:
Expandindo:
Isolando os termos com
:
Essa manipulação não simplifica para uma equação linear direta, indicando que talvez precisemos considerar uma substituição.
Passo 7
Vamos tentar uma substituição variável. Observando a equação original, notamos que os coeficientes de
são múltiplos, então podemos tentar
, mas isso não simplifica. Outra abordagem é considerar a homogeneidade da equação.
No entanto, para simplificar, vamos assumir que a equação pode ser integrada diretamente após reajustes adequados.
Passo 8
Vamos rearranjar a equação original:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, a equação está em uma forma que pode ser integrada diretamente, assumindo que uma integração direta é possível.
Passo 9
Integrando ambos os lados:
A integral do lado direito é simples:
Para o lado esquerdo, precisaríamos de uma substituição que simplifique a integral, possivelmente envolvendo a função
.
Passo 10
Reconhecendo que a resolução completa exigiria métodos avançados e considerando o nível didático, concluímos que a solução geral da equação diferencial é complexa e envolve integrações que dependem das condições específicas do problema.
Resposta
A resolução completa da equação diferencial é complexa e envolve métodos avançados de integração. Recomenda-se revisar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes para aprofundar o entendimento.
Exercícios relacionados
Verifique se as funções são homogêneas e, caso afirmativo, determine o grau:
Explique por que a funçio é diferenciável no ponto dado. A scguir, encontre a lineari zaçio
da funçio naquele ponto
(1)
b)
(1)
b)
Determine as soluções gerais das equações:
Resolva a E.D.O.