Resolva a E.D.O.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária . Esse tipo de equação faz parte do estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e aplicar um método específico que facilita encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar . Dividindo ambos os lados da equação por , temos:
Isso deixa a equação na forma:
Aqui, percebemos que podemos simplificar usando uma substituição.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Isso significa que . Agora, precisamos encontrar em termos de e :
Substituindo e na equação original:

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a equação para resolver para :
Dividindo ambos os lados por :
Essa é uma equação separável, o que facilita a integração.

Passo 5

Vamos separar as variáveis e :
Agora, precisamos integrar ambos os lados.

Passo 6

Primeiro, simplificamos a fração à esquerda. O denominador pode ser reescrito como :
Integrando ambos os lados:
A integral à esquerda resulta em e à direita em , onde é a constante de integração.

Passo 7

Após integrar, temos:
Vamos resolver para :
Lembrando que , substituímos de volta para encontrar .

Passo 8

Substituindo :
Multiplicando ambos os lados por :
Podemos simplificar a constante renomeando-a, mas essa é a forma geral da solução.

Resposta

A solução geral da E.D.O. é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Determine as soluções gerais das equações:
Resolva as equações abaixo:
Indique a ordem das E.D.O. abaixo e verifique se as funções indicadas são soluções:
Encontre a E.D.O. correspondente à: família