Resolva a E.D.O.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária
. Esse tipo de equação faz parte do estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e aplicar um método específico que facilita encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
. Dividindo ambos os lados da equação por
, temos:
Isso deixa a equação na forma:
Aqui, percebemos que podemos simplificar usando uma substituição.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
. Isso significa que
. Agora, precisamos encontrar
em termos de
e
:
Substituindo
e
na equação original:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar a equação para resolver para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Essa é uma equação separável, o que facilita a integração.
Passo 5
Vamos separar as variáveis
e
:
Agora, precisamos integrar ambos os lados.
Passo 6
Primeiro, simplificamos a fração à esquerda. O denominador
pode ser reescrito como
:
Integrando ambos os lados:
A integral à esquerda resulta em
e à direita em
, onde
é a constante de integração.
Passo 7
Após integrar, temos:
Vamos resolver para
:
Lembrando que
, substituímos de volta para encontrar
.
Passo 8
Substituindo
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Podemos simplificar a constante
renomeando-a, mas essa é a forma geral da solução.
Resposta
A solução geral da E.D.O. é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Determine as soluções gerais das equações:
Resolva as equações abaixo:
Indique a ordem das E.D.O. abaixo e verifique se as funções indicadas são soluções:
Encontre a E.D.O. correspondente à: família