Determine as soluções não constantes das seguintes edos:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as soluções não constantes da equação diferencial
. Isso está relacionado com o estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente das EDOs separáveis, onde a equação pode ser escrita de forma que uma parte depende só de
e a outra só de
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separarmos as variáveis
e
. A equação dada é:
Podemos rearranjar isso para:
Isso deixa tudo em
de um lado e em
do outro, pronta para integrar!
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integração de
é:
E a integração de
é:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 4
Vamos juntar as duas equações integradas:
Aqui,
é uma nova constante que substitui
.
Passo 5
Vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -3:
Agora, tiramos o inverso para encontrar
:
Ou, de forma equivalente:
Onde
é uma constante real qualquer.
Resposta
As soluções não constantes da equação são dadas por:
onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Resolva:
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Verifique se as seguintes equações são exatas e em caso afirmativo, encontre as famílias de soluções:
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Verifique se as seguintes equações são exatas e em caso afirmativo, encontre as famílias de soluções:
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Resolva: