Resolva:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica comum para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é
. No nosso caso:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
.
Passo 6
Vamos resolver a integral do lado direito usando integração por partes. Seja:
Aplicando integração por partes:
Passo 7
Colocando tudo junto:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para resolver
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Verifique se as seguintes equações são exatas e em caso afirmativo, encontre as famílias de soluções:
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Determine as soluções não constantes das seguintes edos:
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