Resolva: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica comum para resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é . No nosso caso:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso simplifica a equação para:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente .

Passo 6

Vamos resolver a integral do lado direito usando integração por partes. Seja:
Aplicando integração por partes:

Passo 7

Colocando tudo junto:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, multiplicamos ambos os lados por para resolver :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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