Verifique se as seguintes equações são exatas e em caso afirmativo, encontre as famílias de soluções: .

Passo 1

Entendendo o Problema
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação:
Aqui, representa a derivada de em relação a . O conteúdo envolvido é Equações Diferenciais de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar entender como identificar se uma equação é exata e, se for, encontrar suas soluções.

Passo 2

O Que é uma Equação Diferencial Exata?
Antes de mais nada, uma equação diferencial exata tem a forma:
Para que seja exata, deve satisfazer a condição:
Isso significa que as derivadas parciais de em relação a e de em relação a devem ser iguais.

Passo 3

Reescrevendo a Equação dada no Formato Padrão
Vamos reescrever a equação no formato .
Sabemos que , então:
Aqui, identificamos que:

Passo 4

Verificando a Condição de Exatidão
Agora, vamos verificar se a equa��ão é exata usando a condição mencionada.
Calculando as derivadas parciais:
Como , a condição de exatidão é satisfeita. Portanto, a equação é exata.

Passo 5

Encontrando a Solução da Equação Exata
Para resolver uma equação exata, procuramos uma função tal que:
Integrando em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Integrando :
Então, a função é:
Para encontrar a família de soluções, igualamos a a uma constante:

Resposta

A família de soluções da equação é dada por:
onde é uma constante arbitrária.

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Determine as soluções não constantes das seguintes edos: .
Resolva: .
Resolva:
Verifique se as seguintes equações são exatas e em caso afirmativo, encontre as famílias de soluções: .