Verifique se as seguintes equações são exatas e em caso afirmativo, encontre as famílias de soluções:
.
Passo 1
Entendendo o Problema
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
. O conteúdo envolvido é Equações Diferenciais de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar entender como identificar se uma equação é exata e, se for, encontrar suas soluções.
Passo 2
O Que é uma Equação Diferencial Exata?
Antes de mais nada, uma equação diferencial exata tem a forma:
Para que seja exata, deve satisfazer a condição:
Isso significa que as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
devem ser iguais.
Passo 3
Reescrevendo a Equação dada no Formato Padrão
Vamos reescrever a equação
no formato
.
Sabemos que
, então:
Aqui, identificamos que:
Passo 4
Verificando a Condição de Exatidão
Agora, vamos verificar se a equa��ão é exata usando a condição mencionada.
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a condição de exatidão é satisfeita. Portanto, a equação é exata.
Passo 5
Encontrando a Solução da Equação Exata
Para resolver uma equação exata, procuramos uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Integrando
:
Então, a função
é:
Para encontrar a família de soluções, igualamos a
a uma constante:
Resposta
A família de soluções da equação é dada por:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Determine as soluções não constantes das seguintes edos:
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Resolva:
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Resolva:
Verifique se as seguintes equações são exatas e em caso afirmativo, encontre as famílias de soluções:
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