Verifique se as seguintes equações são exatas e em caso afirmativo, encontre as famílias de soluções: .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para verificar se a equação diferencial é exata e, se for, encontrar as famílias de soluções. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para o formato padrão de uma equação diferencial exata, que é .
Dada a equação:
Podemos reescrever como:
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :

Passo 4

Comparando as derivadas:
Como (a menos que , o que não é uma condição geral), as derivadas parciais não são iguais.

Resposta

A equação não é exata, portanto não podemos encontrar uma família de soluções diretamente.

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Determine as soluções não constantes das seguintes edos: .
Resolva: .
Determine as soluções não constantes das seguintes edos: .