Verifique se as seguintes equações são exatas e em caso afirmativo, encontre as famílias de soluções:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado: temos a equação diferencial
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a família de soluções.
Passo 2
Vamos reescrever a equação para facilitar a análise. Podemos escrever a equação como:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Uma equação diferencial da forma
é exata se satisfizer a condição:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Como
, a condição de exatidão é satisfeita. Portanto, a equação é exata.
Passo 5
Agora, para encontrar a solução, precisamos encontrar uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que surge da integração.
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Então, a função
completa é:
Como a equação é igual a zero, temos:
Resposta
A família de soluções da equação diferencial é dada por:
Onde
é uma constante real.
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.
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.
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.