Verifique se as seguintes equações são exatas e em caso afirmativo, encontre as famílias de soluções: .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado: temos a equação diferencial . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a família de soluções.

Passo 2

Vamos reescrever a equação para facilitar a análise. Podemos escrever a equação como:
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Uma equação diferencial da forma é exata se satisfizer a condição:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando as derivadas:
Como , a condição de exatidão é satisfeita. Portanto, a equação é exata.

Passo 5

Agora, para encontrar a solução, precisamos encontrar uma função tal que:
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função de que surge da integração.

Passo 6

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Então, a função completa é:
Como a equação é igual a zero, temos:

Resposta

A família de soluções da equação diferencial é dada por:
Onde é uma constante real.

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Encontre as soluções dos seguintes p.v.i:
Determine as soluções não constantes das seguintes edos: .
Verifique quais edo são de variáveis separáveis: .
Determine as soluções, caso existam, das seguintes edos: .