Determine as soluções não constantes das seguintes edos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar as soluções não constantes da equação diferencial ordinária (edo)
. Para isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica bem útil em equações desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. Isso significa que vamos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro lado. A equação original é:
Para separar as variáveis, dividimos ambos os lados por
:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar funções cujas derivadas nos deem os termos que temos:
A integral de
em relação a
é:
E a integral de
em relação a
é:
Passo 4
Vamos juntar os resultados das integrais e simplificar as constantes. Igualando as duas expressões obtidas:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Agora, resolvemos para
:
Como
é apenas uma constante qualquer, podemos renomeá-la como
para simplificar:
Resposta
As soluções não constantes da equação diferencial são:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Determine as soluções, caso existam, das seguintes edos:
.
Verifique quais edo são de variáveis separáveis:
.
Determine as soluções não constantes das seguintes edos:
.
Verifique se as seguintes equações são exatas e em caso afirmativo, encontre as famílias de soluções:
.