Determine as soluções não constantes das seguintes edos:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar as soluções não constantes da equação diferencial ordinária (edo) . Para isso, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica bem útil em equações desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . Isso significa que vamos colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro lado. A equação original é:
Para separar as variáveis, dividimos ambos os lados por :

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar funções cujas derivadas nos deem os termos que temos:
A integral de em relação a é:
E a integral de em relação a é:

Passo 4

Vamos juntar os resultados das integrais e simplificar as constantes. Igualando as duas expressões obtidas:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :
Agora, resolvemos para :
Como é apenas uma constante qualquer, podemos renomeá-la como para simplificar:

Resposta

As soluções não constantes da equação diferencial são:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Determine as soluções, caso existam, das seguintes edos: .
Verifique quais edo são de variáveis separáveis: .
Determine as soluções não constantes das seguintes edos: .
Verifique se as seguintes equações são exatas e em caso afirmativo, encontre as famílias de soluções: .