Verifique se as seguintes equações são exatas e em caso afirmativo, encontre as famílias de soluções:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
é exata e, se for, encontrar as soluções. Isso envolve trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem e o conceito de exatidão. Para resolver, vamos precisar identificar as funções que compõem a equação e usar critérios de exatidão.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilite a identificação das funções envolvidas. Podemos organizar a equação assim:
Comparando com nossa equação
, percebemos que:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos verificar se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, verificamos se:
Calculando as derivadas:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, sabemos que existe uma função potencial
tal que:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
para encontrar
:
Isso implica que
, então
é uma constante, digamos
.
Passo 6
Portanto, a função potencial é:
A solução geral da equação diferencial exata é dada por
, ou seja:
Resposta
A família de soluções da equação é
, onde
é uma constante real.
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Determine as soluções não constantes das seguintes edos:
.
Determine as soluções não constantes das seguintes edos:
Verifique se as seguintes equações são exatas e em caso afirmativo, encontre as famílias de soluções:
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Resolva:
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