Verifique se as seguintes equações são exatas e em caso afirmativo, encontre as famílias de soluções: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a equação diferencial é exata e, se for, encontrar as soluções. Isso envolve trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem e o conceito de exatidão. Para resolver, vamos precisar identificar as funções que compõem a equação e usar critérios de exatidão.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilite a identificação das funções envolvidas. Podemos organizar a equação assim:
Comparando com nossa equação , percebemos que:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos verificar se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja, verificamos se:
Calculando as derivadas:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, sabemos que existe uma função potencial tal que:
Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a para encontrar :
Isso implica que , então é uma constante, digamos .

Passo 6

Portanto, a função potencial é:
A solução geral da equação diferencial exata é dada por , ou seja:

Resposta

A família de soluções da equação é , onde é uma constante real.

Exercícios relacionados

Determine as soluções não constantes das seguintes edos: .
Determine as soluções não constantes das seguintes edos:
Verifique se as seguintes equações são exatas e em caso afirmativo, encontre as famílias de soluções: .
Resolva: .