Determine as soluções das seguintes equações diferenciais: 6 x^2 y + 2 x y^2 + (2 x^3 + 2 x^2 y) y' = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Aqui estamos lidando com equações diferenciais exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão :
Para verificar se a equação é exata, comparamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Agora, buscamos uma função tal que:
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função de que vamos determinar.

Passo 5

Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante, que chamaremos de .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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