Determine as soluções das seguintes equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Aqui estamos lidando com equações diferenciais exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão :
Para verificar se a equação é exata, comparamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Agora, buscamos uma função tal que:
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função de que vamos determinar.

Passo 5

Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante, que chamaremos de .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis.
Seja a massa em gramas de um determinado material em cada instante (em minutos). Sabe-se que a função satisfaz a seguinte equação diferencial
onde é uma constante real. Suponha que, inicialmente, há 40 gramas desse material e que, após 15 min, observa-se que a massa decaiu do seu valor inicial.
Utilizando a informação de que , determine o valor da constante .
Justifique que para que uma equação diferencial admita um fator integrante , dependendo só de , é necessário que dependa só de .
Resolva a equação diferencial dada, sujeita a condição inicial indicada.