Determine as soluções das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Aqui estamos lidando com equações diferenciais exatas. Para resolver, precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão
:
Para verificar se a equação é exata, comparamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Agora, buscamos uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que vamos determinar.
Passo 5
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que chamaremos de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis.
Seja
a massa em gramas de um determinado material em cada instante
(em minutos). Sabe-se que a função
satisfaz a seguinte equação diferencial
onde
é uma constante real. Suponha que, inicialmente, há 40 gramas desse material e que, após 15 min, observa-se que a massa decaiu
do seu valor inicial.
Utilizando a informação de que , determine o valor da constante
.
Utilizando a informação de que
Justifique que para que uma equação diferencial
admita um fator integrante
, dependendo só de
, é necessário que
dependa só de
.
Resolva a equação diferencial dada, sujeita a condição inicial indicada.