Justifique que para que uma equação diferencial admita um fator integrante , dependendo só de , é necessário que dependa só de .

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial da forma e precisamos mostrar que, para existir um fator integrante que depende só de , é necessário que a expressão dependa apenas de . Vamos usar conceitos de equivalência exata e fatores integrantes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial é exata se existe uma função tal que e . Para que a equação seja exata, a condição deve ser satisfeita, onde é a derivada parcial de em relação a e é a derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Agora, quando a equação não é exata, a gente procura um fator integrante que, ao multiplicar a equação original, torne-a exata. Ou seja, queremos que seja exata. Para isso, a condição para exatidão passa a ser:

Passo 4

Calculando as derivadas, temos:
Aqui, é a derivada de em relação a .

Passo 5

Rearranjando a equação, fica:
Dividindo ambos os lados por , obtemos:

Passo 6

A expressão depende apenas de porque é uma função de só. Portanto, para que essa igualdade seja válida, a expressão também precisa depender apenas de .

Resposta

Assim, mostramos que para existir um fator integrante que depende somente de , é necessário que dependa apenas de .

Exercícios relacionados

Determine as soluções das seguintes equações diferenciais:
Resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis.
Resolva a equação diferencial dada, sujeita a condição inicial indicada.
Verifique que a equação
admite um fator integrante dependendo só de e também fator integrante dependendo só de . Resolva a equação de duas maneiras, cada vez empregando um dos fators integrantes.