Justifique que para que uma equação diferencial
admita um fator integrante
, dependendo só de
, é necessário que
dependa só de
.
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial da forma
e precisamos mostrar que, para existir um fator integrante
que depende só de
, é necessário que a expressão
dependa apenas de
. Vamos usar conceitos de equivalência exata e fatores integrantes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial
é exata se existe uma função
tal que
e
. Para que a equação seja exata, a condição
deve ser satisfeita, onde
é a derivada parcial de
em relação a
e
é a derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Agora, quando a equação não é exata, a gente procura um fator integrante
que, ao multiplicar a equação original, torne-a exata. Ou seja, queremos que
seja exata. Para isso, a condição para exatidão passa a ser:
Passo 4
Calculando as derivadas, temos:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 5
Rearranjando a equação, fica:
Dividindo ambos os lados por
, obtemos:
Passo 6
A expressão
depende apenas de
porque
é uma função de
só. Portanto, para que essa igualdade seja válida, a expressão
também precisa depender apenas de
.
Resposta
Assim, mostramos que para existir um fator integrante
que depende somente de
, é necessário que
dependa apenas de
.
Exercícios relacionados
Determine as soluções das seguintes equações diferenciais:
Resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis.
Resolva a equação diferencial dada, sujeita a condição inicial indicada.
Verifique que a equação
admite um fator integrante dependendo só de
e também fator integrante dependendo só de
. Resolva a equação de duas maneiras, cada vez empregando um dos fators integrantes.