Resolva a equação diferencial dada, sujeita a condição inicial indicada.

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . Vamos trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem, especificamente equações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar um fator integrante que ajuda a simplificar a equação e aplicar a condição inicial para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar o trabalho. Dividindo ambos os lados por , temos:
Isso coloca a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
onde e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular a integral de :
Então, o fator integrante fica:
Como estamos lidando com negativo ( ), podemos simplificar para:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, isolamos :
Simplificando a constante para absorver o sinal negativo:
onde .

Passo 6

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Justifique que para que uma equação diferencial admita um fator integrante , dependendo só de , é necessário que dependa só de .
Determine as soluções das seguintes equações diferenciais:
Verifique que a equação
admite um fator integrante dependendo só de e também fator integrante dependendo só de . Resolva a equação de duas maneiras, cada vez empregando um dos fators integrantes.
Resolva a equação diferencial dada, sujeita a condição inicial indicada.