Resolva a equação diferencial dada, sujeita a condição inicial indicada.
x^2 dy/dx = y - x y y(-1) = -1

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . Vamos trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem, especificamente equações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar um fator integrante que ajuda a simplificar a equação e aplicar a condição inicial para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar o trabalho. Dividindo ambos os lados por x^2, temos:
Isso coloca a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
onde e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular a integral de P(x):
Então, o fator integrante fica:
Como estamos lidando com x negativo ( ), podemos simplificar para:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados em relação a x:
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, isolamos y:
Simplificando a constante C para absorver o sinal negativo:
onde .

Passo 6

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de K:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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