Resolva a equação diferencial dada, sujeita a condição inicial indicada.
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. Vamos trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem, especificamente equações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar um fator integrante que ajuda a simplificar a equação e aplicar a condição inicial para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar o trabalho. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Isso coloca a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
onde
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Então, o fator integrante fica:
Como estamos lidando com
negativo (
), podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, isolamos
:
Simplificando a constante
para absorver o sinal negativo:
onde
.
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Justifique que para que uma equação diferencial
admita um fator integrante
, dependendo só de
, é necessário que
dependa só de
.
Determine as soluções das seguintes equações diferenciais:
Verifique que a equação
admite um fator integrante dependendo só de
e também fator integrante dependendo só de
. Resolva a equação de duas maneiras, cada vez empregando um dos fators integrantes.
Resolva a equação diferencial dada, sujeita a condição inicial indicada.