Resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis.
Passo 1
Ei! Vamos resolver essa equação diferencial juntos. A questão pede para resolver a equação
usando o método de separação de variáveis. Para isso, vamos precisar entender como separar as variáveis
e
e depois integrar para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para separar as variáveis
e
. Atualmente, temos:
Como podemos ver,
está relacionado apenas com
e uma função de
. Isso nos permite separar as variáveis facilmente.
Passo 3
Agora, vamos isolar
e
:
Isso nos permite integrar ambos os lados da equação separadamente para encontrar
.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados:
A integração do lado esquerdo é direta, enquanto o lado direito requer um pouco mais de atenção.
Passo 5
A integral de
em relação a
é simplesmente:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos integrar
em relação a
. Para isso, usamos uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Passo 7
Substituindo na integral, temos:
Passo 8
A integral de
é uma fórmula padrão:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 9
Substituindo de volta
:
Passo 10
Agora, juntando tudo, temos:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Seja
a massa em gramas de um determinado material em cada instante
(em minutos). Sabe-se que a função
satisfaz a seguinte equação diferencial
onde
é uma constante real. Suponha que, inicialmente, há 40 gramas desse material e que, após 15 min, observa-se que a massa decaiu
do seu valor inicial.
Utilizando a informação de que , determine o valor da constante
.
Utilizando a informação de que
Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
Determine as soluções das seguintes equações diferenciais:
Justifique que para que uma equação diferencial
admita um fator integrante
, dependendo só de
, é necessário que
dependa só de
.