Resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis.

Passo 1

Ei! Vamos resolver essa equação diferencial juntos. A questão pede para resolver a equação usando o método de separação de variáveis. Para isso, vamos precisar entender como separar as variáveis e e depois integrar para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para separar as variáveis e . Atualmente, temos:
Como podemos ver, está relacionado apenas com e uma função de . Isso nos permite separar as variáveis facilmente.

Passo 3

Agora, vamos isolar e :
Isso nos permite integrar ambos os lados da equação separadamente para encontrar .

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados:
A integração do lado esquerdo é direta, enquanto o lado direito requer um pouco mais de atenção.

Passo 5

A integral de em relação a é simplesmente:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a . Para isso, usamos uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:

Passo 7

Substituindo na integral, temos:

Passo 8

A integral de é uma fórmula padrão:
Onde é outra constante de integração.

Passo 9

Substituindo de volta :

Passo 10

Agora, juntando tudo, temos:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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Seja a massa em gramas de um determinado material em cada instante (em minutos). Sabe-se que a função satisfaz a seguinte equação diferencial
onde é uma constante real. Suponha que, inicialmente, há 40 gramas desse material e que, após 15 min, observa-se que a massa decaiu do seu valor inicial.
Utilizando a informação de que , determine o valor da constante .
Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
Determine as soluções das seguintes equações diferenciais:
Justifique que para que uma equação diferencial admita um fator integrante , dependendo só de , é necessário que dependa só de .