Seja
a massa em gramas de um determinado material em cada instante
(em minutos). Sabe-se que a função
satisfaz a seguinte equação diferencial
onde
é uma constante real. Suponha que, inicialmente, há 40 gramas desse material e que, após 15 min, observa-se que a massa decaiu
do seu valor inicial.
Utilizando a informação de que
, determine o valor da constante
.
Utilizando a informação de que
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função
que representa a massa (em gramas) de um material em cada instante de tempo
(em minutos). A equação diferencial que descreve como essa massa muda ao longo do tempo é:
Aqui,
é uma constante que precisamos descobrir. Além disso, sabemos que inicialmente (quando
) temos 40 gramas do material, e após 15 minutos, a massa diminui 5% do valor inicial, ficando
. Vamos precisar de conhecimentos sobre equações diferenciais de primeira ordem e como resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
para facilitar a solução. Vamos reescrever a equação assim:
Agora, a gente integra os dois lados da equação. A integral de
é
e a integral de
é
, onde
é a constante de integração. Então:
Passo 3
Para simplificar, vamos resolver para
. Primeiro, aplicamos a exponencial dos dois lados para eliminar o logaritmo:
Podemos chamar
de outra constante, digamos
. Assim, a solução geral da equação é:
Agora, usamos a condição inicial para encontrar
. Sabemos que quando
,
:
Portanto, a solução específica é:
Passo 4
Agora, vamos usar a outra informação que temos: após 15 minutos, a massa é 5% menor que a inicial, ou seja,
gramas. Substituímos esses valores na equação:
Dividimos ambos os lados por 40:
Para resolver para
, tiramos o logaritmo natural dos dois lados:
Então, isolamos
:
Resposta
Calculando o valor de
:
Portanto, a constante
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:
Resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis.
Determine as soluções das seguintes equações diferenciais: