Seja a massa em gramas de um determinado material em cada instante (em minutos). Sabe-se que a função satisfaz a seguinte equação diferencial
onde é uma constante real. Suponha que, inicialmente, há 40 gramas desse material e que, após 15 min, observa-se que a massa decaiu do seu valor inicial.
Utilizando a informação de que , determine o valor da constante .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função que representa a massa (em gramas) de um material em cada instante de tempo (em minutos). A equação diferencial que descreve como essa massa muda ao longo do tempo é:
Aqui, é uma constante que precisamos descobrir. Além disso, sabemos que inicialmente (quando ) temos 40 gramas do material, e após 15 minutos, a massa diminui 5% do valor inicial, ficando . Vamos precisar de conhecimentos sobre equações diferenciais de primeira ordem e como resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis e para facilitar a solução. Vamos reescrever a equação assim:
Agora, a gente integra os dois lados da equação. A integral de é e a integral de é , onde é a constante de integração. Então:

Passo 3

Para simplificar, vamos resolver para . Primeiro, aplicamos a exponencial dos dois lados para eliminar o logaritmo:
Podemos chamar de outra constante, digamos . Assim, a solução geral da equação é:
Agora, usamos a condição inicial para encontrar . Sabemos que quando , :
Portanto, a solução específica é:

Passo 4

Agora, vamos usar a outra informação que temos: após 15 minutos, a massa é 5% menor que a inicial, ou seja, gramas. Substituímos esses valores na equação:
Dividimos ambos os lados por 40:
Para resolver para , tiramos o logaritmo natural dos dois lados:
Então, isolamos :

Resposta

Calculando o valor de :
Portanto, a constante é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial:
Encontre a solução geral das equações separáveis a seguir:
Resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis.
Determine as soluções das seguintes equações diferenciais: