Determine as soluções dos sistemas mecânicos correspondentes às equações abaixo:
ddotx+dotx-2 x=e^t

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada: . Esse tipo de equação pertence ao estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral composta pela solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
ddotx + dotx - 2x = 0
Para isso, montamos a equação característica:
r^2 + r - 2 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
r = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
Então, as raízes são:
r1 = 1 e r2 = -2
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
xh(t) = C1 e^t + C2 e^-2t
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, encontramos uma solução particular ( ddotx + dotx - 2x = e^t ) para a equação completa:
xp(t) = A t e^t
Como o termo não homogêneo é dotxp = A e^t + A t e^t e ddotxp = 2A e^t + A t e^t já é solução da equação homogênea, devemos multiplicar por (2A e^t + A t e^t) + (A e^t + A t e^t) - 2(A t e^t) = e^t para evitar redundância. Assumimos então:
3A e^t = e^t
Derivando:
3A = 1 Rightarrow A = 13
xp(t) = 13 t e^t
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Então:
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral do sistema mecânico é:
x(t) = C1 e^t + C2 e^-2t + 13 t e^t
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados