Determine as soluções dos sistemas mecânicos correspondentes às equações abaixo:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada:
. Esse tipo de equação pertence ao estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral composta pela solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, encontramos uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o termo não homogêneo é
e
já é solução da equação homogênea, devemos multiplicar por
para evitar redundância. Assumimos então:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Então:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral do sistema mecânico é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.