Determine as soluções dos sistemas mecânicos correspondentes às equações abaixo:

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada: . Esse tipo de equação pertence ao estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral composta pela solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, encontramos uma solução particular ( ) para a equação completa:
Como o termo não homogêneo é e já é solução da equação homogênea, devemos multiplicar por para evitar redundância. Assumimos então:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Então:
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral do sistema mecânico é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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