Determine as soluções dos sistemas mecânicos correspondentes às equações abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar as soluções do sistema mecânico representado por:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, especificamente uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações homogêneas e encontrar uma solução particular para a parte não homogênea. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando a parte não dependente (o
) é igual a zero:
Essa é uma equação diferencial clássica cujo comportamento depende das raízes da equação característica.
Passo 3
Vamos achar a equação característica dessa equação homogênea. Substituímos
por
e
por 1:
Resolvendo para
:
Passo 4
Como as raízes são complexas (
), a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o lado direito é
, que já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa tentativa de solução particular por
para evitar duplicação de termos.
Passo 6
Vamos supor uma solução particular da forma:
Onde
e
são coeficientes que vamos determinar.
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 8
Substituímos
e
na equação original:
Então:
Passo 9
Simplificamos a equação:
Isso nos dá um sistema para encontrar
e
:
Passo 10
Resolvendo o sistema:
Passo 11
Então, a solução particular é:
Passo 12
Finalmente, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.