Determine as soluções dos sistemas mecânicos correspondentes às equações abaixo:
ddotx+x=sen(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar as soluções do sistema mecânico representado por:
ddotx + x = sen(t)
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, especificamente uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações homogêneas e encontrar uma solução particular para a parte não homogênea. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando a parte não dependente (o sen(t)) é igual a zero:
ddotx + x = 0
Essa é uma equação diferencial clássica cujo comportamento depende das raízes da equação característica.

Passo 3

Vamos achar a equação característica dessa equação homogênea. Substituímos ddotx por r^2 e x por 1:
r^2 + 1 = 0
Resolvendo para r:
r^2 = -1 r = pm i

Passo 4

Como as raízes são complexas ( pm i), a solução geral da equação homogênea é:
xh(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t)
Onde C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( xp(t)) para a equação completa:
ddotx + x = sen(t)
Como o lado direito é sen(t), que já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa tentativa de solução particular por t para evitar duplicação de termos.

Passo 6

Vamos supor uma solução particular da forma:
xp(t) = t (A cos(t) + B sin(t))
Onde A e B são coeficientes que vamos determinar.

Passo 7

Calculamos as derivadas de xp(t):
Primeira derivada:
dotxp(t) = A cos(t) + B sin(t) + t (-A sin(t) + B cos(t))
Segunda derivada:
ddotxp(t) = -2A sin(t) + 2B cos(t) - t (A cos(t) + B sin(t))

Passo 8

Substituímos xp(t) e ddotxp(t) na equação original:
ddotxp + xp = sen(t)
Então:
[-2A sin(t) + 2B cos(t) - t (A cos(t) + B sin(t))] + t (A cos(t) + B sin(t)) = sen(t)

Passo 9

Simplificamos a equação:
-2A sin(t) + 2B cos(t) = sen(t)
Isso nos dá um sistema para encontrar A e B:
-2A = 1 2B = 0

Passo 10

Resolvendo o sistema:
A = -12 B = 0

Passo 11

Então, a solução particular é:
xp(t) = t (-12 cos(t)) = -t2 cos(t)

Passo 12

Finalmente, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
x(t) = xh(t) + xp(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t) - t2 cos(t)

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t) - t2 cos(t)
Onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.

Exercícios relacionados