Determine as soluções dos sistemas mecânicos correspondentes às equações abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar as soluções do sistema mecânico representado por:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, especificamente uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações homogêneas e encontrar uma solução particular para a parte não homogênea. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando a parte não dependente (o ) é igual a zero:
Essa é uma equação diferencial clássica cujo comportamento depende das raízes da equação característica.

Passo 3

Vamos achar a equação característica dessa equação homogênea. Substituímos por e por 1:
Resolvendo para :

Passo 4

Como as raízes são complexas ( ), a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Como o lado direito é , que já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa tentativa de solução particular por para evitar duplicação de termos.

Passo 6

Vamos supor uma solução particular da forma:
Onde e são coeficientes que vamos determinar.

Passo 7

Calculamos as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 8

Substituímos e na equação original:
Então:

Passo 9

Simplificamos a equação:
Isso nos dá um sistema para encontrar e :

Passo 10

Resolvendo o sistema:

Passo 11

Então, a solução particular é:

Passo 12

Finalmente, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.

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