O primeiro estágio do foguete do problema anterior é desconectado do foguete ao atingir a altura de 70 km . Encontre a altura em função do tempo para o primeiro estágio, assumindo a velocidade inicial para cima encontrada no problema anterior e uma resistência do ar linearmente proporcional à velocidade, do tipo -b v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o primeiro estágio de um foguete que foi separado ao atingir 70 km de altura. A gente precisa descobrir qual é a altura desse primeiro estágio em função do tempo. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento com resistência do ar que é proporcional à velocidade, ou seja, . Vamos precisar da velocidade inicial que já foi calculada no problema anterior.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma resistência do ar proporcional à velocidade. Isso quer dizer que a força de resistência que o ar oferece ao movimento do foguete é proporcional à velocidade dele. Matematicamente, podemos representar essa força como , onde é uma constante positiva e é a velocidade.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração ( m dvdt = -b v ). No caso, a única força agindo no foguete após a separação é a resistência do ar. Então, temos:
Isso é uma equação diferencial que vamos resolver para encontrar a velocidade em função do tempo.

Passo 4

Vamos separar as variáveis e integrar:
dvv = -bm dt
Integrando ambos os lados:
ln v = -bm t + C
Onde v(t) = v0 e^-bm t é a constante de integração. Podemos resolver para :
Aqui, é a velocidade inicial.

Passo 5

Agora que temos a velocidade em função do tempo, para encontrar a altura h(t) = integral v(t) dt = integral v0 e^-bm t dt = m v0b (1 - e^-bm t) + h0 , vamos integrar a velocidade:
Como o foguete foi desconectado ao atingir 70 km, podemos considerar km.

Resposta

A altura do primeiro estágio em função do tempo é
h(t) = 70,km + m v0b (1 - e^-bm t)

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