O primeiro estágio do foguete do problema anterior é desconectado do foguete ao atingir a altura de 70 km . Encontre a altura em função do tempo para o primeiro estágio, assumindo a velocidade inicial para cima encontrada no problema anterior e uma resistência do ar linearmente proporcional à velocidade, do tipo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o primeiro estágio de um foguete que foi separado ao atingir 70 km de altura. A gente precisa descobrir qual é a altura desse primeiro estágio em função do tempo. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento com resistência do ar que é proporcional à velocidade, ou seja,
. Vamos precisar da velocidade inicial que já foi calculada no problema anterior.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter uma resistência do ar proporcional à velocidade. Isso quer dizer que a força de resistência que o ar oferece ao movimento do foguete é proporcional à velocidade dele. Matematicamente, podemos representar essa força como
, onde
é uma constante positiva e
é a velocidade.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração (
). No caso, a única força agindo no foguete após a separação é a resistência do ar. Então, temos:
Isso é uma equação diferencial que vamos resolver para encontrar a velocidade em função do tempo.
Passo 4
Vamos separar as variáveis e integrar:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Podemos resolver para
:
Aqui,
é a velocidade inicial.
Passo 5
Agora que temos a velocidade em função do tempo, para encontrar a altura
, vamos integrar a velocidade:
Como o foguete foi desconectado ao atingir 70 km, podemos considerar
km.
Resposta
A altura do primeiro estágio em função do tempo é
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