Mostre que se mudarmos a coordenada do ponto de referência (x^prime=x+x0) na equação da energia potencial do oscilador harmônico, não alteramos as equações dinâmicas para uma partícula que se move sob ação desse potencial.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação da energia potencial de um oscilador harmônico. O exercício quer que a gente mude a coordenada de referência para (x^prime=x+x0) e mostre que, mesmo fazendo essa mudança, as equações dinâmicas que descrevem o movimento da partícula continuam as mesmas. Pra resolver isso, vamos precisar saber como a energia potencial se comporta ao mudar de coordenada e como isso afeta as equações de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a expressão da energia potencial de um oscilador harmônico. Ela é dada por:
U(x) = 12 k x^2
Aqui, k é a constante elástica e x é a posição da partícula em relação à posição de equilíbrio.

Passo 3

Agora, vamos mudar a coordenada para x' = x + x0. Isso significa que estamos escolhendo um novo ponto de referência deslocado por x0. Nosso objetivo é reescrever a energia potencial nessa nova coordenada.

Passo 4

Substituindo x = x' - x0 na expressão da energia potencial, temos:
U(x') = 12 k (x' - x0)^2
Vamos expandir esse quadrado:
U(x') = 12 k ( x'^2 - 2x'x0 + x0^2 )
U(x') = 12 k x'^2 - k x' x0 + 12 k x0^2

Passo 5

Agora, precisamos ver como essa nova expressão de U(x') afeta as equações dinâmicas. As equações de movimento são obtidas a partir da força, que é a derivada negativa da energia potencial em relação à posição:
F = -dUdx'
Vamos calcular a derivada de U(x'):
dUdx' = k x' - k x0
Portanto, a força fica:
F = -(k x' - k x0) = -k x' + k x0

Passo 6

Vamos analisar essa força. Se observarmos, há um termo -k x' que é o termo padrão da força do oscilador harmônico na coordenada x', e k x0 é uma constante. No entanto, como o movimento é relativo à nova posição de equilíbrio x' = x + x0, esse termo constante k x0 não afeta a dinâmica do sistema, pois ele cancela na equação de movimento.

Passo 7

Portanto, a equação de movimento na nova coordenada fica:
m d^2 x'dt^2 = -k x'
Que é exatamente a mesma equação de movimento original, apenas na nova coordenada x'.

Resposta

Assim, mostramos que ao mudar a coordenada para x' = x + x0, as equações dinâmicas do oscilador harmônico permanecem inalteradas.

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