Mostre que se mudarmos a coordenada do ponto de referência
na equação da energia potencial do oscilador harmônico, não alteramos as equações dinâmicas para uma partícula que se move sob ação desse potencial.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação da energia potencial de um oscilador harmônico. O exercício quer que a gente mude a coordenada de referência para
e mostre que, mesmo fazendo essa mudança, as equações dinâmicas que descrevem o movimento da partícula continuam as mesmas. Pra resolver isso, vamos precisar saber como a energia potencial se comporta ao mudar de coordenada e como isso afeta as equações de movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a expressão da energia potencial de um oscilador harmônico. Ela é dada por:
Aqui,
é a constante elástica e
é a posição da partícula em relação à posição de equilíbrio.
Passo 3
Agora, vamos mudar a coordenada para
. Isso significa que estamos escolhendo um novo ponto de referência deslocado por
. Nosso objetivo é reescrever a energia potencial nessa nova coordenada.
Passo 4
Substituindo
na expressão da energia potencial, temos:
Vamos expandir esse quadrado:
Passo 5
Agora, precisamos ver como essa nova expressão de
afeta as equações dinâmicas. As equações de movimento são obtidas a partir da força, que é a derivada negativa da energia potencial em relação à posição:
Vamos calcular a derivada de
:
Portanto, a força fica:
Passo 6
Vamos analisar essa força. Se observarmos, há um termo
que é o termo padrão da força do oscilador harmônico na coordenada
, e
é uma constante. No entanto, como o movimento é relativo à nova posição de equilíbrio
, esse termo constante
não afeta a dinâmica do sistema, pois ele cancela na equação de movimento.
Passo 7
Portanto, a equação de movimento na nova coordenada fica:
Que é exatamente a mesma equação de movimento original, apenas na nova coordenada
.
Resposta
Assim, mostramos que ao mudar a coordenada para
, as equações dinâmicas do oscilador harmônico permanecem inalteradas.
Exercícios relacionados
O primeiro estágio do foguete do problema anterior é desconectado do foguete ao atingir a altura de 70 km . Encontre a altura em função do tempo para o primeiro estágio, assumindo a velocidade inicial para cima encontrada no problema anterior e uma resistência do ar linearmente proporcional à velocidade, do tipo
.
Uma nave espacial de 5.000 kg está em órbita da Terra viajando a uma velocidade de
. Seu motor é queimado para acelerá-lo a uma velocidade de
colocando-o em uma trajetória de escape. O motor expele massa a uma taxa de
e uma velocidade efetiva de
. Calcule a duração da queima.
Determine as soluções dos sistemas mecânicos correspondentes às equações abaixo:
Determine as soluções dos sistemas mecânicos correspondentes às equações abaixo: