Determine a soma dos coeficientes do polinômio
f(x) = (2 + x^3 + x^5)^2 (-2 + x^2)^(201) in Z[x]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para determinar a soma dos coeficientes do polinômio:
Esse problema está ligado ao estudo de polinômios na álgebra. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a soma dos coeficientes de um polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a soma dos coeficientes de um polinômio pode ser encontrada avaliando . Isso porque, quando substituímos por 1, cada termo se torna apenas , e somamos todos eles.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso polinômio, temos:

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente:
  • Primeiro, calcule e :

  • Então, a primeira parte fica:
  • Agora, calcule :
  • E a segunda parte fica:

Passo 5

Agora, substituímos esses valores de volta na expressão:

Passo 6

Calculando as potências:
  • (porque qualquer potência ímpar de -1 é -1)

Passo 7

Multiplicando os resultados:

Resposta

A soma dos coeficientes do polinômio é -16.

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