Mostre que existem infinitas ternas , com , de modo que a divisão de por seja exata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que existem infinitas ternas com de modo que a divisão de por seja exata. Aqui, estamos trabalhando com divisão de polinômios, então vamos precisar entender como funciona a divisão exata e como encontrar condições para que isso aconteça.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma divisão exata. Quando dividimos por , a divisão é exata se o resto for zero. Isso quer dizer que existe um polinômio tal que:
Nosso objetivo é encontrar valores de , e que satisfaçam essa igualdade.
Passo 3
Vamos assumir que é um polinômio com coeficientes racionais. Vamos chamar os coeficientes de de , , , etc. Para simplificar, vamos supor que tem um grau tal que o produto resulte em um polinômio com grau igual ao de , que é 5.
Então, podemos escrever como:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar por :
Fazendo a multiplicação termo a termo:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos organizar os termos por grau:
Esse polinômio deve ser igual a . Vamos igualar os coeficientes de cada grau:
Passo 6
Vamos resolver essas equações passo a passo:
Da equação do grau 0:
Da equação do grau 2 e grau 4, temos .
Da equação do grau 5:
Agora, da equação do grau 1:
E da equação do grau 3:
Passo 7
Agora, observamos que está fixo como 0, e está relacionado a . A última equação nos dá uma relação entre e :
Podemos reescrever isso como:
Isso mostra que, para qualquer valor racional de , podemos encontrar um correspondente, e sempre será 0. Não há restrições para , então podemos escolher infinitos valores de em , o que gera infinitas ternas .
Resposta
Existem infinitas ternas com , e qualquer que tornam a divisão de por exata.